数理物理学の方法 上 (数学クラシックス)

本書は数理物理学の定番「クーラント-ヒルベルト」の最新第4版（1993年）の邦訳の上巻である。第4版の編者P. ラックスがその「序文」で述べているように、変分法と微分方程式の境界値問題及び固有値問題を主題として再編し、新たな版として世に問うことの意義は言を俟たない。この最新版は、旧著を既に読んだことがある方、これから読もうとする方、の双方からおおいに歓迎されると思う。最近（2019年9月に）下巻の邦訳が刊行されたのを機に第4版を通読してみた。数空間（ユークリッド空間）と関数空間における「線形写像」及び「最大・最小値問題」の類似性を示し、スムーズに主題に繋がるように説明が工夫されている。（通常は無限次元の）関数空間に正規直交基底Uiがあれば、その関数fはf=ΣCiUi、Ci=(f,Ui) (fとUiの内積)と表示され、線形作用素L（微分作用素、積分作用素、など）がその像L(Ui)（の基底Uiによる列ベクトル表示）から無限次行列として表示されることが推察される。数空間の関数の極値問題に微分法が不可欠なように、関数空間における汎函数の極値問題では変分法が不可欠である。本書の第４章で変分法の基本事項を解説する準備として、第１章で最大値原理に基づく2次形式の主軸変換や線形写像の固有値のミニ・マックス法による特徴付けが取り上げられ、第2章で完全直交関数系における任意関数のフーリエ展開が解説されている理由が理解できると思う。「関数空間に正規直交基底Uiがあれば」と上述したが、直交基底が「積分作用素の固有関数」や「微分作用素の固有関数」で構成できる場合が良く知られた古典的な例であり、対称核を持つ積分作用素の固有値問題（ヒルベルト-シュミット、及びフレドホルムの積分方程式論）やスツルム-リウヴィル作用素の固有値問題が関数を級数展開できる重要な具体例として本書（および下巻）で詳述されている訳である。「微分方程式の境界値問題や固有値問題」と「変分法の最小値問題」が深く関係し、「それらは表裏一体の関係にある」と読者が明確に理解できる所に「クーラント-ヒルベルト本」第4版の大きな魅力がある。ルベーグ空間やソボレフ空間などヒルベルト空間論の典型的なツールは表に現れないが、完備性（あるいはコンパクト性）を持つ関数空間で議論を展開する有用性・有効性を本書の多くの箇所で見出すことができる。ヒルベルトの美しく統一された数理物理の世界の思想を継承する著者のクーラント、その高弟であるフリードリックスとレリッヒなどの碩学の研究成果を取り込んで叙述されている本書の存在感・本物感は「凄い！」の一言に尽きる。この分野のまさに古典中の古典（クラシック）である名著「クーラント-ヒルベルト」の新版を数理科学に興味をもつ多くの方々が手にされることを期待したい（「クーラント-ヒルベルト本」の素晴らしさは上巻と下巻を通読して心底実感できるので、ぜひ下巻も精読されることをお薦めしたい）。【付記】 本書の叙述内容で気づいたこと・感心したことなどを以下に述べたい。気付いたミスプリントは「コメント」に記述したい。§2.7.3の「ラプラスの積分」は、下巻p.106で「グリーン関数」の例の一環として現れていることに注目したい。§3.10.1の例(c)、(d)に現れる対称核はエルミート直交関数、ラゲール直交関数に関わる微分作用素の「グリーン関数」であることに注目したい（詳しくは、下巻§5.15、pp.104~106参照）。§3.10.2の特異積分方程式の例は、吉田耕作『積分方程式論』にも引用され、そこで詳しく解説されているので参考になると思う。なお§3.10.2の最後の例は上述した下巻p.106の例と本質的に同一であることに注意したい。-----§4.9は本書（上巻）で最も感銘を受けた箇所のひとつである。解析力学では、ラグランジアンL(q,v)に対し、一般化運動量pはp = ∂L/∂v、ハミルトニアンHは（Lのルジャンドル変換として）H(q,p) = p・v – Lである。vはv = ∂H/∂pであり、ハミルトンの運動方程式は dq/dt = ∂H/∂p、dp/dt = -∂H/∂qで記述される。本書の§4.9で、関数FがラグランジアンLに、変数の対(u,u’)がラグランジアンの変数(q,v)に、さらにΦがハミルトニアンHに対応していることに気づけば、p.256で説明されている変分問題の標準形はハミルトンの正準方程式に至る正準化そのものであることが明確に読み取れると思う（勿論、変数xは変数tに対応している）。